পরিসংখ্যান

১. উপাত্তসমূহ সারণিতে অন্তর্ভুক্ত করার সময়, প্রতি শ্রেণিতে উপাত্তের সংখ্যা নির্ধারণ করে যে সূচকটি, সেটি কোনটি?

ক) শ্রেণির গণসংখ্যা
খ) শ্রেণির মধ্যবিন্দু
গ) শ্রেণি সীমা
ঘ) শ্রেণি সংখ্যা

উত্তরঃ ক

২. পরিসংখ্যানের অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ যখন ক্রমানুসারে সাজানো হয়, তখন উপাত্তগুলো একটি নির্দিষ্ট মানের আশেপাশে সংগৃহীত হয়। এই প্রবণতাকে কী বলা হয়?

ক) গড়
খ) প্রচুরক
গ) মধ্যক
ঘ) কেন্দ্রীয় প্রবণতা

উত্তরঃ ঘ

৩. নিচের সারণিতে

(i) শ্রেণিব্যাপ্তি 3

(ii) মধ্যক শ্রেণি 8⁰-10⁰

(iii) তাপমাত্রা অবিচ্ছিন্ন চলক

নিচের কোন তথ্যটি সঠিক?

ক) ii ও i
খ) iii ও i
গ) iii ও ii
ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ গ

৪. আয়তলেখ আঁকতে যা যা প্রয়োজন তা হলো-

(i) x অক্ষ বরাবর অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিব্যাপ্তি

(ii) y অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা

(iii) শ্রেণির মধ্যমান

নিচের মধ্যে কোনটি সঠিক?

ক) ii ও i
খ) iii ও i
গ) iii ও ii
ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ক

৫. উপাত্তের ক্ষেত্রে কোনটি প্রচুরক-

(i) কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ

(ii) সবচেয়ে বেশি বার প্রদর্শিত মান

(iii) সবসময় অনন্য নাও হতে পারে

উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) ii ও i
খ) iii ও i
গ) iii ও ii
ঘ) i, ii ও iii

উত্তরঃ ঘ

শীতকালে বাংলাদেশের একটি অঞ্চলের ১০ দিনের তাপমাত্রা (সেন্টিমিটার) পরিসংখ্যান হলো ১০°, ৯°, ৮°, ৬°, ১১°, ১২°, ৭°, ১৩°, ১৪°, ৫°।

নিচের (৬-৮) প্রশ্নগুলোর উত্তর দিন।

৬. উপরের উপাত্তের প্রচুরক কোনটি?

ক) ১২°
খ) ৫°
গ) ১৪°
ঘ) প্রচুরক নেই

উত্তরঃ ঘ

৭. উপরের উপাত্তের গড় তাপমাত্রা কত?

ক) ৮°
খ) ৮.৫°
গ) ৯.৫°
ঘ) ৯°

উত্তরঃ গ

৮. উপাত্তগুলোর মধ্যক কোনটি?

ক) ৯.৫°
খ) ৯°
গ) ৯.৫°
ঘ) ৯°

উত্তরঃ ক

৯. সারণিভুক্ত শ্রেণিবিন্যস্ত উপাত্তের মোট সংখ্যা হলো n, মধ্যক শ্রেণির নিন্মসীমা L, মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা F_c, মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা F_m এবং শ্রেণিব্যাপ্তি হলো h; এই তথ্যের আলোকে নিচের মধ্যক নির্ণয়ের সূত্র কোনটি ?

ক) L+(n/2-F_c)✕h/F_m

খ) L+(n/2-F_m)✕h/F_m

গ) L-(n/2-F_c)✕h/F_m

ঘ) L-(n/2-F_m)✕h/F_m

উত্তরঃ ক

১০. ১০ম শ্রেণির ৫০জন ছাত্র-ছাত্রীর গণিত বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি প্রদত্ত হলো। প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ ও অজিভ রেখা আঁক।

সমাধানঃ

এখানে প্রদত্ত উপাত্ত বিচ্ছিন্ন। এক্ষেত্রে শ্রেণী ব্যবধানের মধ্যবিন্দু বের করে সরাসরি গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকা সুবিধাজনক। শিক্ষার্থীদের গণিত বিষয়ে প্রাপ্ত নাম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণিঃ

গণসংখ্যার বহুভুজ অঙ্কন:
X-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের প্রতি ঘরকে ২ একক ধরে শ্রেণি ব্যবধানের মধ্যবিন্দু এবং Y-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের ২ ঘরকে গণসংখ্যার ১ একক ধরে প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকা হয়েছে। মূলবিন্দু থেকে ৩০ পর্যন্ত ঘরগুলো চিহ্নিত করার জন্য ছেদ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

অজিভ রেখা অঙ্কনের সারণিঃ

X-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের এক ঘরকে শ্রেণী ব্যবধানের উচ্চসীমার দুই একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের এক ঘরকে ক্রমযোজিত গণসংখ্যার একক ধরে প্রদত্ত উপাত্তের ক্রমযোজিত গণসংখ্যার অজিভ রেখা আঁকা হয়েছে। মূলবিন্দু থেকে ৩১ পর্যন্ত ঘরগুলো চিহ্নিত করতে ছেদ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

১১. নিচে ৫০ জন ছাত্র-ছাত্রীর ওজনের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। এবার মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ছাত্র-ছাত্রীর ওজনের মধ্যক নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় সারণিঃ

খানে, n=50 যা জোড় সংখ্যা

এখন, 50/2=25,

∴ মধ্যক

   25 তম পদ+26 তম পদ

=—————————

              2

   60+60

=———

      2

=60 কেজি।

১২. কোনো বিদ্যালয়ের বার্ষিক পরীক্ষায় ৯ম শ্রেণির ৫০ জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরগুলো নিন্বে প্রদান করা হলো।

76, 65, 98, 79, 64, 68, 56, 73, 83, 57, 55, 92, 45, 77, 87, 46, 32, 75, 89, 48, 97, 88, 65, 73, 93, 58, 58, 41, 69, 63, 39, 84, 56, 45, 73, 93, 62, 67, 69, 65, 53, 78, 64, 85, 53, 73, 34, 75, 82, 67, 62

ক) প্রদানকৃত তথ্যটির ধরণ কীরূপ? কোনো নিবেশনে একটি শ্রেণির গণসংখ্যা কী নির্দেশ করে?

সমাধানঃ

প্রদানকৃত তথ্যটি একটি অবিন্যস্ত উপাত্ত।

কোন একটি শ্রেণির গণসংখ্যা দ্বারা ঐ শ্রেণিতে উপাত্তের যতগুলো মান অন্তর্ভুক্ত হয় তাঁর সংখ্যা নির্দেশ করে।

খ) উপযুক্ত শ্রেণিব্যাপ্তি নিয়ে গণসংখ্যা নিবেশন তৈরি কর।

সমাধানঃ

এখানে সর্বনিন্ম প্রাপ্ত নাম্বর=32 এবং সর্বোচ্চ প্রাপ্ত নাম্বর=98

∴পরিসর=(98-32)+1=66+1=67

শ্রেণীব্যাপ্তি 10 ধরে শ্রেণী সংখ্যা=67/10=6.7

অর্থাৎ শ্রেণী সংখ্যা হবে 7

∴গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণিঃ

গ) সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয়ের নিবেশন সারণিঃ

∴গড়

      Σf_iu_i

=a+——–✕h

         n

         13

=64.5+——–✕10

             50

=67.1

১৩.

ক) উপরের চিত্রে, প্রথম শ্রেণিটির শ্রেণি মধ্যমান ও শেষ শ্রেণিটির গণসংখ্যা কত?

সমাধানঃ

প্রদত্ত চিত্রে, প্রথম শ্রেণি=30-40

∴প্রথম শ্রেণির মধ্যমান

   30+40

=———

       2

=35

এবং,

শেষ শ্রেণি=70-80 যার গণসংখ্যা=2

খ) চিত্রে প্রদর্শিত তথ্যটিকে ছকের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত চিত্রটিকে ছকের মাধ্যমে প্রকাশ করে পাই,

গ) উপরের প্রাপ্ত ছক থেকে নিবেশনটির মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মধ্যক নির্ণয়ঃ

এখানে, n=30

n     30

—=—-=15

2      2

অতএব, মধ্যক হলো 15তম পদের মান।

অর্থাৎ, (50-60) এই শ্রেণিতে মধ্যক রয়েছে।

∴মধ্যক

L+(n/2-F_c)✕h/f_m

=50+(30/2-9)✕10/11

=50+5.45

=55.45

১৪. কোনো শ্রেণির ৬০ জন শিক্ষার্থীর ওজনের (কেজি) গণসংখ্যা নিবেশন সারণি নিন্মরূপঃ

ক) মধ্যক নির্ণয়ের সূত্রটি লিখ।

সমাধানঃ

মধ্যক নির্ণয়ের সূত্রঃ

মধ্যক=L+(n/2-F_c)✕h/f_m

এখানে,

L=মধ্যক শ্রেণির নিন্মসীমা

F_c=মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমোযোজিত গণসংখ্যা

f_m=মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা

h=শ্রেণি ব্যবধান

n=গণসংখ্যার সমষ্টি

খ) প্রদত্ত তথ্য থেকে প্রচুরক নির্ণয়্য কর।

সমাধানঃ

প্রচুরক

          f₁

=L+———-✕h

        f₁+f₂

           10

=60+———-✕5

          10+8

           10

=60+———-✕5

            18

=60+2.8

=62.8

[ব্যাখ্যাঃ যেহেতু (60-64) শ্রেণির গণসংখ্যা সবচেয়ে বেশি। সুতরাং (60-64) হলো প্রচুরক শ্রেণি। এখানে, প্রচুরক শ্রেণির নিন্মসীমা L=60; f₁=20-10=10; f₂=20-12=8 এবং h=5]

গ) উপাত্তের আয়তলেখ অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

আয়তলেখ অঙ্কনঃ

প্রদত্ত বিচ্ছিন্ন শ্রেনি ব্যবধানকে অবিচ্ছন্ন করে নিন্মোক্ত সারণিপাই,

এখন ছক কাগজের X-অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরকে এক একক ধরে শ্রেণি সীমা এবং Y-অক্ষ বরাবর প্রতি দুই ঘরকে গণসংখ্যার এক একক ধরেয়ায়তলেখ আঁকা হলো। মূলবিন্দু থেকে 44.5 পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে ছেদ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

১৫. তাপমাত্রা পরিবর্তনশীল। বাংলাদেশে সাধারণত জানুয়ারি মাসের ১ম সপ্তাহে তাপমাত্রা কম এবং জুন মাসের ৪র্থ সম্পতাহে তাপমাত্রা বেশি থাকে। ৫২ সপ্তাহের তাপমাত্রা ডিগ্রী সেলসিয়াস এককে নিন্মরূপঃ

35, 30, 27, 42, 20, 19, 27, 36, 39, 14, 15, 38, 37, 40, 40, 12, 10, 9, 7, 20, 21, 24, 33, 30, 296, 21, 19, 31, 28, 26, 32, 30, 22, 23, 24, 41, 26, 23, 25, 22, 17, 19, 21, 23, 8, 13, 23, 24, 20, 32, 11, 17

ক) শ্রেণিব্যাপ্তি 5  ধরে শ্রেণিসংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে সর্বোচ্চ সংখ্যা= 42; সর্বনিন্ম সংখ্যা=7

∴পরিসর=(42-7)+1=35+1=36

∴শ্রেণি ব্যবধান 5 ধরে,

শ্রেণি সংখ্যা=36/5=7.2≈8টি

খ) প্রদত্ত উপাত্তসমূহকে সারণি আকারে প্রকাশ করে সারণি থেকে সর্বনিন্ম এবং সর্বোচ্চ তাপমাত্রা গড় নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত উপাত্তসমূহকে সারণিতে প্রকাশ করা হলোঃ

∴গড়=1271/52=24.44

গ) উপরে প্রাপ্ত সারণি ব্যবহার করে আয়তলেখ অঙ্কনের মাধ্যমে প্রচুরক নির্ণয় কর।

 সমাধানঃ

আয়তলেখ অঙ্কনের জন্য শ্রেণি ব্যাপ্তি অবিচ্ছিন্ন করা হলোঃ

এখন ছক কাগজের X-অক্ষ বরাবর প্রতি ঘরকে অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমার এক একক ধরে শ্রেণি সীমা এবং Y-অক্ষ বরাবর প্রতি দুই ঘরকে গণসংখ্যার এক একক ধরেয়ায়তলেখ আঁকা হলো। মূলবিন্দু থেকে 5.5 পর্যন্ত ঘরগুলো আছে বোঝাতে ছেদ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে। 

আয়তলেখ হতে দেখা যায় যে বেশী তাপমাত্রা (20.5-25.5) শ্রেণিতে। তাই প্রচুরক নির্ণয়ের জন্য আয়তের উপরিভাগের কৌনিক বিন্দুদ্বয় থেকে দুইটি আড়াআড়ি রেখাংশের আগের ও পরের আয়তের উপরিভাগের কৌনিক বিন্দুর সাথে সংযোগ করা হয়েছে। এদের ছেদবিন্দু থেকে x-অক্ষের উপর যে লম্ব টানা হয়েছে তা x-অক্ষকে 23.5 বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং প্রচুরক হলো 23.5 (প্রায়)।

৩য় শ্লেণীর গণিত- 6d440f