নবম ও দশম শ্রেণীর অংক সমাধান ২০২৪-২৫ (অধ্যায়ঃ ১৫ ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত সমস্যা)

ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত সমস্যা:

১. যদি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকে, তাহলে নিচের কোন ক্ষেত্রে সেই ত্রিভুজটি সমকোণী হবে না?

ক) ৩ সেমি, ৪ সেমি, ৫ সেমি খ) ৬ সেমি, ৮ সেমি, ১০ সেমি গ) ৫ সেমি, ৭ সেমি, ৯ সেমি ঘ) ৫ সেমি, ১২ সেমি, ১৩ সেমি

উত্তরঃ গ

২. সমতল জ্যামিতির ক্ষেত্রে, নিচের বিবৃতিগুলো বিবেচনা করুন:

আরো দেখুন:- নবম ও দশম শ্রেণীর অংক সমাধান ২০২৪-২৫ (অধ্যায়ঃ১৭ পরিসংখ্যানঃ গড়, উপাত্ত, প্রচুরক, শ্রেণি সংখ্যা, মধ্যক, গণসংখ্যা:)

(i) যেকোনো সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রমান থাকে। (ii) দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একই হলেই তারা অবশ্যই সর্বসম হবে। (iii) যদি দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হয়, তাহলে তাদের ক্ষেত্রফলও সমান হবে।

উপরের কোন বিবৃতিগুলো সঠিক?

ক) শুধুমাত্র (i) এবং (ii) খ) শুধুমাত্র (i) এবং (iii) গ) শুধুমাত্র (ii) এবং (iii) ঘ) (i), (ii) এবং (iii) সবগুলোই

উত্তরঃ খ

নিচের চিত্রে, △ABC সমবাহু, AD ⊥ BC এবং AB=2

উপর্যুক্ত তথ্যের ভিত্তিতে ৩-৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

৩. BD=কত?

ক) 1   খ) √2   গ) 2   ঘ) 4

উত্তরঃ ক

৪. ত্রিভুজটির উচ্চতা কত?

ক) 4/√3   খ) √3    গ) 2/√3    ঘ) 2√3

উত্তরঃ খ

৫. প্রমাণ কর যে, সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় সামন্তরিকক্ষেত্রটিকে চারটি সমান ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচন:

মনে করি, ABCD একটি সামন্তরিক, যার AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, △AOB = △BOC = △COD = △AOD (এখানে “=” চিহ্নটি দ্বারা ক্ষেত্রফল বোঝানো হয়েছে)।

প্রমাণ:

ABCD একটি সামন্তরিক, যার AC ও BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

আমরা জানি, সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সুতরাং, AO = OC এবং BO = OD।

এখন, আমরা নিম্নলিখিত বিষয়গুলো বিবেচনা করি:

১. △ABC এর ক্ষেত্রে: BO হলো মধ্যমা (যেহেতু AO = OC)। আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

সুতরাং, △AOB = △BOC ………(i)

২. △ABD এর ক্ষেত্রে: AO হলো মধ্যমা (যেহেতু BO = OD)।

সুতরাং, △AOB = △AOD ………(ii)

৩. △BCD এর ক্ষেত্রে: CO হলো মধ্যমা (যেহেতু BO = OD)।

সুতরাং, △BOC = △COD ………(iii)

৪. △ACD এর ক্ষেত্রে: DO হলো মধ্যমা (যেহেতু AO = OC)।

সুতরাং, △AOD = △COD ………(iv)

এখন, (i), (ii), (iii) এবং (iv) নং সমীকরণ থেকে পাই:

△AOB = △BOC = △COD = △AOD (প্রমাণিত)

আরো দেখুন:- নবম ও দশম শ্রেণীর অংক সমাধান ২০২৪-২৫ (অধ্যায়ঃ১৬.৪ ঘনবস্তুর ক্ষেত্র)

৬. প্রমাণ কর যে, কোনো বর্গক্ষেত্র তাঁর কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচন (Statement):

মনে করি, ABCD একটি বর্গক্ষেত্র, যার AC একটি কর্ণ। ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল AB² (যা BC², CD², বা AD² এর সমান, কারণ বর্গের প্রতিটি বাহু সমান) এবং AC কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল AC²। প্রমাণ করতে হবে যে, AB² = ½ AC²।

প্রমাণ (Proof):

১. △ABC বিবেচনা করি।

২. ∠B = ৯০° [বর্গের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ]

৩. পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, অতিভুজের বর্গ = লম্ব^২ + ভূমি^২।

৪. △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে AC হলো অতিভুজ এবং AB ও BC হলো লম্ব ও ভূমি।

∴ AC² = AB² + BC²

৫. যেহেতু ABCD একটি বর্গক্ষেত্র, তাই এর প্রত্যেক বাহু সমান। অর্থাৎ, AB = BC।

৬. এখন, BC এর পরিবর্তে AB লিখলে পাই:

AC² = AB² + AB²

৭. সরলীকরণ করে পাই:

AC² = 2AB²

৮. উভয় পক্ষকে ২ দিয়ে ভাগ করে পাই:

AB² = ½ AC²

(প্রমাণিত)

৭. প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের যে কোনো মধ্যমা ত্রিভুজক্ষেত্রটিকে সমান ক্ষেত্রফল বিশীষ্ট দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচন (Statement):

মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। AD মধ্যমা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, △ABD এর ক্ষেত্রফল = △ADC এর ক্ষেত্রফল।

অঙ্কন (Construction):

A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AE লম্ব আঁকি।

প্রমাণ (Proof):

১. যেহেতু AD, BC এর মধ্যমা, তাই D বিন্দুটি BC এর মধ্যবিন্দু।

∴ BD = DC ………(i) [মধ্যমার সংজ্ঞা অনুসারে]

২. AE রেখাংশটি BC এর উপর লম্ব। সুতরাং, AE হলো △ABD এবং △ADC উভয় ত্রিভুজের উচ্চতা।

৩. এখন, △ABD এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × BD × AE ………(ii)

৪. একইভাবে, △ADC এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × DC × AE ………(iii)

৫. (i) নং সমীকরণ থেকে আমরা জানি BD = DC। এই মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

△ABD এর ক্ষেত্রফল = ½ × DC × AE ………(iv)

৬. এখন, (iii) এবং (iv) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

△ABD এর ক্ষেত্রফল = △ADC এর ক্ষেত্রফল

∴ △ABD = △ADC (প্রমাণিত)

৮. একটি সামন্তরিকক্ষেত্র এবং সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র একই ভূমির উপর এবং এর একই পাশে অবস্থিত। দেখাও যে, সামন্তরিকক্ষেত্রটির পরিসীমা আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচন (Statement):

মনে করি, ABEF একটি আয়তক্ষেত্র এবং ABCD একটি সামন্তরিক একই ভূমি AB এর উপর এবং একই পাশে অবস্থিত। আরও মনে করি, ABEF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ABCD সামন্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। প্রমাণ করতে হবে যে, সামন্তরিকের পরিসীমা > আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা।

প্রমাণ (Proof):

১. সামন্তরিক ABCD এর পরিসীমা:

সামন্তরিকের পরিসীমা = AB + BC + CD + AD

যেহেতু সামন্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান, তাই BC = AD এবং AB = CD।

সুতরাং, সামন্তরিকের পরিসীমা = AB + AD + AB + AD = 2AB + 2AD ………(i)

২. আয়তক্ষেত্র ABEF এর পরিসীমা:

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = AB + BF + EF + AF

যেহেতু আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুগুলো সমান, তাই AB = EF এবং AF = BE।

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = AB + AF + AB + AF = 2AB + 2AF ………(ii)

৩. এখন, ADF সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করি (যেহেতু AF, AB এর উপর লম্ব এবং ABEF একটি আয়তক্ষেত্র)।

এই সমকোণী ত্রিভুজে, AD হলো অতিভুজ এবং AF হলো একটি বাহু। আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ যেকোনো বাহু থেকে বৃহত্তর।

∴ AD > AF

৪. উভয় পক্ষকে ২ দিয়ে গুণ করে পাই:

2AD > 2AF ………(iii)

৫. এখন, (i) এবং (ii) নং সমীকরণ থেকে পাই:

সামন্তরিকের পরিসীমা – আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = (2AB + 2AD) – (2AB + 2AF) = 2AD – 2AF

৬. (iii) নং সমীকরণ থেকে আমরা জানি 2AD > 2AF, সুতরাং 2AD – 2AF > 0

অতএব, সামন্তরিকের পরিসীমা – আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা > 0

বা, সামন্তরিকের পরিসীমা > আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা (প্রমাণিত)

৯. △ABC এর AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y। প্রমাণ কর যে, △AXY এর ক্ষেত্রফল=¼.△ABC এর ক্ষেত্রফল।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচন (Statement):

মনে করি, △ABC এর AB ও AC বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y। প্রমাণ করতে হবে যে, △AXY এর ক্ষেত্রফল = ¼ × △ABC এর ক্ষেত্রফল।

প্রমাণ (Proof):

১. যেহেতু Y, AC এর মধ্যবিন্দু, তাই BY রেখাংশটি △ABC এর একটি মধ্যমা।

আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

∴ △ABY এর ক্ষেত্রফল = △YBC এর ক্ষেত্রফল

অতএব, △ABY এর ক্ষেত্রফল = ½ × △ABC এর ক্ষেত্রফল ………(i)

২. আবার, যেহেতু X, AB এর মধ্যবিন্দু, তাই XY রেখাংশটি △ABY এর একটি মধ্যমা।

একই যুক্তিতে, △AXY এর ক্ষেত্রফল = △BXY এর ক্ষেত্রফল

অতএব, △AXY এর ক্ষেত্রফল = ½ × △ABY এর ক্ষেত্রফল ………(ii)

৩. এখন, (i) নং সমীকরণ থেকে △ABY এর ক্ষেত্রফলের মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

△AXY এর ক্ষেত্রফল = ½ × (½ × △ABC এর ক্ষেত্রফল)

৪. সরলীকরণ করে পাই:

△AXY এর ক্ষেত্রফল = ¼ × △ABC এর ক্ষেত্রফল

∴ △AXY = ¼ × △ABC (প্রমাণিত)

১০. ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম। এর AB ও CD বাহু দুইটি সমান্তরাল। ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচন (Statement):

মনে করি, ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম, যার AB ও CD বাহু দুইটি সমান্তরাল। ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

অঙ্কন (Construction):

A বিন্দু থেকে বর্ধিত CD এর উপর AL লম্ব এবং C বিন্দু থেকে AB এর উপর CM লম্ব আঁকি। A ও C যোগ করি।

প্রমাণ (Proof):

১. অঙ্কন অনুসারে, AL ⊥ CD এবং CM ⊥ AB। যেহেতু AB || CD, তাই AL এবং CM এর দৈর্ঘ্য সমান হবে। অর্থাৎ, AL = CM। এই লম্ব দূরত্বটি সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যেকার দূরত্ব নির্দেশ করে।

২. AC কর্ণটি ট্রাপিজিয়াম ABCD কে দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করেছে: △ABC এবং △ACD।

৩. ট্রাপিজিয়াম ABCD এর ক্ষেত্রফল = △ABC এর ক্ষেত্রফল + △ACD এর ক্ষেত্রফল

৪. △ABC এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × AB × CM ………(i)

৫. △ACD এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × CD × AL

যেহেতু AL = CM, তাই △ACD এর ক্ষেত্রফল = ½ × CD × CM ………(ii)

৬. এখন, (i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:

ট্রাপিজিয়াম ABCD এর ক্ষেত্রফল = (½ × AB × CM) + (½ × CD × CM)

৭. ½ × CM কমন নিয়ে পাই:

ট্রাপিজিয়াম ABCD এর ক্ষেত্রফল = ½ × CM × (AB + CD)

৮. যেহেতু CM হলো সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যেকার লম্ব দূরত্ব এবং AB ও CD হলো সমান্তরাল বাহুদ্বয়, তাই আমরা লিখতে পারি:

ট্রাপিজিয়াম ABCD এর ক্ষেত্রফল = ½ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল)

(প্রমাণিত)

১১. সামন্তরিক ABCD এর অভ্যন্তরে P যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ কর যে, △PAB এর ক্ষেত্রফল + △PCD এর ক্ষেত্রফল = ½(সামন্তরিকক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল)।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচন (Statement):

মনে করি, ABCD একটি সামন্তরিক এবং P তার অভ্যন্তরে যেকোনো একটি বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, △PAB এর ক্ষেত্রফল + △PCD এর ক্ষেত্রফল = ½ × (সামন্তরিকক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল)।

অঙ্কন (Construction):

P বিন্দু থেকে AB বাহুর উপর PF লম্ব এবং CD বাহুর উপর PE লম্ব আঁকি।

প্রমাণ (Proof):

১. যেহেতু PF ⊥ AB এবং PE ⊥ CD, তাই PF এবং PE যথাক্রমে △PAB এবং △PCD এর উচ্চতা।

২. সামন্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা = AB × EF ………(i) এখানে EF হলো AB ও CD বাহুর মধ্যে লম্ব দূরত্ব।

৩. △PAB এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × AB × PF ………(ii)

৪. △PCD এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × CD × PE

৫. যেহেতু ABCD একটি সামন্তরিক, তাই এর বিপরীত বাহুগুলো সমান। অর্থাৎ, AB = CD।

∴ △PCD এর ক্ষেত্রফল = ½ × AB × PE ………(iii)

৬. এখন, (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই:

△PAB এর ক্ষেত্রফল + △PCD এর ক্ষেত্রফল = (½ × AB × PF) + (½ × AB × PE)

৭. ½ × AB কমন নিয়ে পাই:

△PAB এর ক্ষেত্রফল + △PCD এর ক্ষেত্রফল = ½ × AB × (PF + PE)

৮. চিত্র থেকে স্পষ্ট যে PF + PE = EF (যেহেতু P বিন্দুটি AB ও CD এর মধ্যে অবস্থিত)।

∴ △PAB এর ক্ষেত্রফল + △PCD এর ক্ষেত্রফল = ½ × AB × EF

৯. (i) নং সমীকরণ থেকে আমরা জানি AB × EF = সামন্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল।

∴ △PAB এর ক্ষেত্রফল + △PCD এর ক্ষেত্রফল = ½ × (সামন্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল)

(প্রমাণিত)

১২. △ABC এ BC ভূমির সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখা AB ও AC বাহুকে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, △DBC =△EBC এবং △DBE=△CDE।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচন (Statement):

দেওয়া আছে, △ABC এ BC ভূমির সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, △DBC এর ক্ষেত্রফল = △EBC এর ক্ষেত্রফল এবং △DBE এর ক্ষেত্রফল = △CDE এর ক্ষেত্রফল।

প্রমাণ (Proof):

১. যেহেতু DE || BC, তাই D এবং E বিন্দু থেকে BC এর উপর লম্ব দূরত্ব একই হবে। এই লম্ব দূরত্বকে ‘h’ দ্বারা চিহ্নিত করা হলো। এই ‘h’ হলো △DBC এবং △EBC উভয়ের উচ্চতা।

২. △DBC এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × BC × h ………(i)

৩. △EBC এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × BC × h ………(ii)

৪. (i) ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

△DBC এর ক্ষেত্রফল = △EBC এর ক্ষেত্রফল

∴ △DBC = △EBC

৫. এখন, △DBE এবং △CDE এর ক্ষেত্রে:

উভয় ত্রিভুজের ভূমি DE একই।

৬. যেহেতু DE || BC, তাই D এবং E বিন্দু থেকে BC এর উপর লম্ব দূরত্ব (h) এবং D এবং E বিন্দু থেকে DE এর উপর লম্ব দূরত্ব (ধরি ‘x’) এর মধ্যে একটি সম্পর্ক আছে। কিন্তু আমাদের △DBE এবং △CDE এর ক্ষেত্রফল তুলনা করার জন্য DE এর উপর লম্ব দূরত্ব ‘x’ যথেষ্ট। কারণ DE||BC হওয়ায় D ও E থেকে DE এর ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান হবে।

৭. △DBE এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × DE × x ………(iii)

৮. △CDE এর ক্ষেত্রফল = ½ × ভূমি × উচ্চতা = ½ × DE × x ………(iv)

৯. (iii) ও (iv) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:

△DBE এর ক্ষেত্রফল = △CDE এর ক্ষেত্রফল

∴ △DBE = △CDE

অতএব, △DBC = △EBC এবং △DBE = △CDE (প্রমাণিত)

১৩. ABC ত্রিভুজের ∠A=এক সমকোণ। D, AC এর উপরস্থ একটি বিন্দু। প্রমাণ কর যে, BC²+AD²=BD²+AC².

সমাধানঃ

প্রমাণঃ

△ABC এর  ∠A=এক সমকোণ।।

∴ BC অতিভুজ।

তাহলে, AC²+AB²=BC²……………..(i)

আবার, সমকোণী △ADC এর অতিভুজ BD

তাহলে, AB²+AD²=BD²

বা,  AB²=BD²-AD²

AB² এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

AC²+BD²-AD²=BC²

বা,  AC²+BD²=BC²+AD²

বা,  BC²+AD²=BD²+AC² (প্রমাণিত)

১৪. ABC একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ। BC এর অতিভুজ এবং P, BC এর উপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ কর যে, PB²+PC²=2PA².

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, ABC একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ। এর AB-AC.  BC এর অতিভুজ এবং P, BC এর উপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, PB²+PC²=2PA².

অঙ্কনঃ

P থেকে AB এর উপর PE ও AC এর উপর PD লম্ব টানি।

প্রমাণঃ

△BEP এ ∠BEP=90⁰ [PE ⊥ AB]

PB²=BE²+EP² =

△PDC এ ∠PDC=90⁰ [PD ⊥ AC]

PC²=PD²+DC²

∴PB²+PC²= BE²+EP²+ PD²+DC²

বা, PB²+PC²=(EP²+PD²)+(BE²+DC²)…………….(i)

এখন,

△ABC-এ AB=AC এবং ∠BAC=90⁰

∴∠ABC=∠ACB=45⁰

△PDC-এ ∠DCP=45⁰; ∠PDC=90⁰ [PD ⊥ AC]

∴∠DPC=45⁰

অর্থাৎ, DC=DP

বা,  DC²=DP²……………(ii))

আবার,

AB=AC

বা,  BE+AE=AD+DC

বা,  BE+AE=AD+PD [DC=DP]

বা,  BE+AE=AD+AE [যেহেতু, PE ⊥ AB; PD ⊥ AC সেহেতু ADPE আয়তক্ষেত্রে AE=PD]

বা,  BE=AD

বা,  BE²=AD²……………(iii)

যেহেতু, PE ⊥ AB; PD ⊥ AC

সেহেতু ADPE আয়তক্ষেত্রে AE=PD

বা, PD²=AE²…………….(iv)

(ii), (iii), (iv) থেকে মান নিয়ে (i) নং এ বসিয়ে পাই,

PB²+PC²=(EP²+AE²)+(AD²+DP²)

            =AP²+AP²

            =2AP²

∴ PB²+PC²=2PA² (প্রমাণিত)

১৫. △ABC এর ∠C স্থূলকোণ। AD, BC এর উপর লম্ব। দেখাও যে, AB²=AC²+BC²+2BC.CD.

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, ABC এর ∠C স্থূলকোণ। AD, BC এর বর্ধিতাংশ এর উপর লম্ব। দেখাতে হবে যে, AB²=AC²+BC²+2BC.CD.

প্রমাণ:

1. △ADC সমকোণী ত্রিভুজে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:

   AC² = AD² + CD² — (1)

2. △ADB সমকোণী ত্রিভুজে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:

   AB² = AD² + BD²

   AB² = AD² + (BC + CD)² [যেহেতু BD = BC + CD]

   AB² = AD² + BC² + 2BC⋅CD + CD²

   AB² = (AD² + CD²) + BC² + 2BC⋅CD

3. এখন, সমীকরণ (1) থেকে, AD² + CD² = AC²। এই মানটি উপরের সমীকরণে বসিয়ে পাই:

   AB² = AC² + BC² + 2BC⋅CD

অতএব, প্রমাণিত হলো যে, AB² = AC² + BC² + 2BC⋅CD।

১৬. △ABC এর ∠C সূক্ষ্মকোণ। AD, BC এর উপর লম্ব। দেখাও যে, AB²=AC²+BC²-2BC.CD।

সমাধানঃ

প্রদত্ত: △ABC-এ, ∠C একটি সূক্ষ্মকোণ এবং AD ⊥ BC।

প্রমাণ করতে হবে: AB² = AC² + BC² – 2BC⋅CD

প্রমাণ:

1. △ADC সমকোণী ত্রিভুজে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:

   AC² = AD² + CD² — (1)

2. △ADB সমকোণী ত্রিভুজে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:

   AB² = AD² + BD²

   AB² = AD² + (BC – CD)² [যেহেতু BD = BC – CD]

   AB² = AD² + BC² – 2BC⋅CD + CD²

   AB² = (AD² + CD²) + BC² – 2BC⋅CD

3. এখন, সমীকরণ (1) থেকে, AD² + CD² = AC²। এই মানটি উপরের সমীকরণে বসিয়ে পাই:

   AB² = AC² + BC² – 2BC⋅CD

অতএব, প্রমাণিত হলো যে, AB² = AC² + BC² – 2BC⋅CD।

১৭. △PQR এ QD একটি মধ্যমা।

ক) উদ্দীপকের আলোকে আনুপাতিক চিত্র আঁক।

সমাধানঃ

উদ্দীপকের আলোকে আনুপাতিক চিত্র নিচে আঁকা হলোঃ

খ) প্রমাণ কর, PQ²+QR²=2(PD²+QD²).

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △PQR এ QD মধ্যমা PR কে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, PQ²+QR²=2(PD²+QD²).

অঙ্কনঃ

PR এর উপর QM লম্ব আঁকি।

প্রমাণঃ

অঙ্কন অনুসারে,  △PQM হতে পাই,

PQ²=PM²+QM²

বা,  PQ²=(PD+DM)²+QD²-DM²

বা,  PQ²=PD²+DM²+2.PD.DM+QD²-DM²

বা,  PQ²=PD² +QD²+2.PD.DM…………….(i)

এবং △QRM হতে পাই,

QR²=QM²+MR²

বা,  QR²=QD²-DM²+(DR-DM)²

বা,  QR²=QD²-DM²+(PD-DM)² [D, PR এর মধ্যবিন্দু কারন QD মধ্যমা]

বা,  QR²=QD²-DM²+(PD-DM)²

বা,  QR²=QD²-DM²+PD²+DM²-2.PD.DM

বা,  QR²=QD²+PD²-2PD.DM…………(ii)

(i)+(ii) করে পাই,

PQ²+QR²=PD² +QD²+2.PD.DM+ QD²+PD²-2PD.DM

বা,  PQ²+QR²=2PD²+2QD²

বা,  PQ²+QR²=2(PD²+QD²) [প্রমাণিত]

গ) যদি PQ=QR=PR হয়, তাহলে প্রমাণ কর, 4PD²=3PQ².

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, △PQR এ PQ=QR=PR এবং QD মধ্যমা PR কে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, 4QD²=3PQ²

প্রমাণঃ

△PQR এ PQ=QR=PR এবং QD মধ্যমা ।

∴ QD ⊥ PR এবং PD=DR

এখন,

△PDQ-এ

PQ²=PD²+QD²

বা,  QD²=PQ²-PD²

বা,  QD²=PQ²– (½PR)² [PD=DR]

বা,   QD²=PQ²– (½PQ)² [PQ=QR=PR]

বা,  4QD²=4PQ²-4.¼.PQ² [4 দ্বারা গুণ করে]

বা,   4QD²=4PQ²-.PQ²

বা,  4QD²=3PQ² (প্রমাণিত)

১৮. ABCD সামন্তরিকের AB=5 সেমি, AD=4 সেমি এবং ∠BAD=75⁰। অপর একটি সামন্তরিক APML এর  ∠LAP=60⁰। △AED এর ক্ষেত্রফল ও APML সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল, ABCD সামন্তরিকের ক্ষেত্রফলের সমান।

ক) পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁক।

সমাধানঃ

পেন্সিল, কম্পাস ও স্কেল ব্যবহার করে ∠BAD আঁকা হলোঃ

খ) △AED অঙ্কন কর [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

দেওয়া আছে, ABCD সামন্তরিকের AB=5 সেমি, AD=4 সেমি এবং ∠BAD=75⁰। এমন একটি ত্রিভুজ AED আঁকতে হবে যেন তার ক্ষেত্রফল সামন্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল এর সমান হয়।

অঙ্কনের বিবরণঃ

1. B, D যোগ করি।
2. C বিন্দু দিয়ে CE ।। BD আঁকি যা AB এর বর্ধিতাংশকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
3. D, E যোগ করি।

তাহলে, △AED-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

গ) APML সামন্তরিকটি অঙ্কন কর [অঙ্কন চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক]

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি, ABCD সামন্তরিকের AB=5 সেমি, AD=4 সেমি এবং ∠BAD=75⁰। এমন একটি সামন্তরিক APML আঁকতে হবে যার  ∠LAP=60⁰ এবং ক্ষেত্রফল ABCD সামন্তরিকের সমান হয়।

অঙ্কনের বিবরণঃ

1. B, D যোগ করি।
2. C বিন্দু দিয়ে CE ।। DB আঁকি যা AB এর বর্ধিতাংশকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
3. AE এর মধ্যবিন্দু P নির্ণয় করি যা B বিন্দুর সাথে মিলেযায় অর্থাৎP বিন্দু B বিন্দুতে সমাপতিত হয়।
4. AB এর A বিন্দুতে∠LAP=60⁰আঁকি । AL, CD কে L বিন্দুতে ছেদ করে।
5. AL।।PM আঁকি যা CD এর বর্ধিতাংশকে M বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে APML-ই নির্ণেয় সামন্তরিক।

আরো জানতে- স্কুল মেথ বিডি