নবম ও দশম শ্রেণীর অংক সমাধান ২০২৪-২৫ (অধ্যায়ঃ ১৬.১ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল)

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলঃ

১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির ¾ অংশ হলে, বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আপনার সমাধানটি সম্পূর্ণ সঠিক। উপস্থাপনার সুবিধার জন্য এবং আরও স্পষ্ট করে বোঝানোর জন্য, নিচে একটি পুনর্লিখিত সমাধান দেওয়া হলো:

মনে করি,

• ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ∠B = ৯০° (সমকোণ)।
• অতিভুজ AC = ২৫ মিটার।
• একটি বাহু BC = x মিটার।
• অপর বাহু AB = (৩/৪)x মিটার।

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রযোজ্য:

অতিভুজ² = ভূমি² + লম্ব²

অর্থাৎ, AC² = BC² + AB²

সুতরাং,

(২৫)² = x² + ((৩/৪)x)²

বা, ৬২৫ = x² + (৯/১৬)x²

উভয় পক্ষকে ১৬ দিয়ে গুণ করে পাই:

বা, ৬২৫ × ১৬ = ১৬x² + ৯x²

বা, ১০০০ = ২৫x²

বা, x² = ১০০০/২৫

বা, x² = ৪০০

বা, x = √৪০০

বা, x = ২০

অতএব,

• একটি বাহুর দৈর্ঘ্য (BC) = ২০ মিটার।

তাহলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য (AB) = (৩/৪) × ২০ = ১৫ মিটার।

সুতরাং, ত্রিভুজটির বাহুগুলির দৈর্ঘ্য হলো: অতিভুজ (AC) = ২৫ মিটার, একটি বাহু (BC) = ২০ মিটার এবং অপর বাহু (AB) = ১৫ মিটার।

২. 20 মিটার লম্বা একটি মই দেওয়ালের সাথে খাড়া ভাবে আছে। মইটির গোড়া দেওয়াল থেকে কতদূরে সরালে ওপরের প্রান্ত 4 মিটার নিচে নামবে?

সমাধানঃ

ধরি,

• মইটির দৈর্ঘ্য = AB = ২০ মিটার।
• মইটি যখন দেওয়ালের সাথে খাড়াভাবে ছিল, তখন মইটির উপরের প্রান্ত দেওয়ালের C বিন্দুতে ছিল। সুতরাং, CD = AB = ২০ মিটার।
• মইটির গোড়া B থেকে সরিয়ে D বিন্দুতে নিয়ে যাওয়া হলো। ফলে মইটির উপরের প্রান্ত C থেকে ৪ মিটার নিচে A বিন্দুতে নেমে আসে।

সুতরাং,

• AD = ৪ মিটার।
• AC = CD – AD = ২০ – ৪ = ১৬ মিটার।

যেহেতু দেওয়াল ভূমির সাথে লম্ব, তাই △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ∠ACB = ৯০°।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

AB² = AC² + BC²

বা, (২০)² = (১৬)² + BC²

বা, ৪০০ = ২৫৬ + BC²

বা, BC² = ৪০০ – ২৫৬

বা, BC² = ১৪৪

বা, BC = √১৪৪

বা, BC = ১২ মিটার

অতএব, মইটির গোড়া দেওয়াল থেকে ১২ মিটার দূরে সরালে উপরের প্রান্ত ৪ মিটার নিচে নামবে।

৩. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 16 মিটার। এর সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ভূমির 5/6 অংশ হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আপনার সমাধানটি প্রায় সঠিক, তবে উপস্থাপনা এবং কিছু অংশে সামান্য পরিমার্জন করা যেতে পারে। নিচে একটি পুনর্লিখিত সমাধান দেওয়া হলো:

মনে করি,

• ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যেখানে AB = AC।
• ভূমি BC = x মিটার।

শর্তমতে,

• সমান বাহুগুলির প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য (AB = AC) = (৫/৬)x মিটার।

এবং দেওয়া আছে,

• ত্রিভুজটির পরিসীমা = ১৬ মিটার।

আমরা জানি, ত্রিভুজের পরিসীমা = তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল।

সুতরাং,

AB + AC + BC = ১৬

বা, (৫/৬)x + (৫/৬)x + x = ১৬

বা, (৫x + ৫x + ৬x)/৬ = ১৬

বা, ১৬x/৬ = ১৬

বা, ১৬x = ১৬ × ৬

বা, x = ৬

অতএব,

• ভূমি BC = ৬ মিটার।
• সমান বাহু AB = AC = (৫/৬) × ৬ = ৫ মিটার।

এখন, ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৫ + ৫ + ৬ = ১৬ মিটার (যা প্রদত্ত তথ্যের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ)।

অর্ধপরিসীমা (s) = পরিসীমা/২ = ১৬/২ = ৮ মিটার।

হিরনের সূত্রানুসারে, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:

ক্ষেত্রফল = √{s(s – a)(s – b)(s – c)} [যেখানে a, b, c ত্রিভুজের বাহুত্রয়ীর দৈর্ঘ্য]

= √{৮(৮ – ৬)(৮ – ৫)(৮ – ৫)}

= √{৮ × ২ × ৩ × ৩}

= √১৪৪

= ১২ বর্গমিটার

অতএব, নির্ণেয় ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ১২ বর্গমিটার।

৪. একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 25 সেমি ও 27 সেমি এবং পরিসীমা 84 সেমি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আপনার সমাধানটি প্রায় সঠিক, তবে উপস্থাপনার কিছু অংশে আরও স্পষ্টতা যোগ করা যায় এবং এককের ক্ষেত্রে একটি ছোট ত্রুটি আছে (বর্গমিটারের পরিবর্তে বর্গ সেমি হবে)। নিচে একটি পুনর্লিখিত সমাধান দেওয়া হলো:

দেওয়া আছে:

• ত্রিভুজটির ১ম বাহুর দৈর্ঘ্য (a) = ২৫ সেমি
• ত্রিভুজটির ২য় বাহুর দৈর্ঘ্য (b) = ২৭ সেমি
• ত্রিভুজটির পরিসীমা = ৮৪ সেমি

নির্ণয় করতে হবে:

• ত্রিভুজটির ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্য (c)
• ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

সমাধান:

আমরা জানি, ত্রিভুজের পরিসীমা = তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল।

সুতরাং,

a + b + c = ৮৪

বা, ২৫ + ২৭ + c = ৮৪

বা, ৫২ + c = ৮৪

বা, c = ৮৪ – ৫২

বা, c = ৩২ সেমি

অতএব,

• ত্রিভুজটির ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্য (c) = ৩২ সেমি

এখন, ত্রিভুজটির অর্ধপরিসীমা (s) = পরিসীমা/২ = ৮৪/২ = ৪২ সেমি

হিরনের সূত্রানুসারে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল:

ক্ষেত্রফল = √{s(s – a)(s – b)(s – c)} [যেখানে a, b, c ত্রিভুজের বাহুত্রয়ীর দৈর্ঘ্য]

= √{৪২(৪২ – ২৫)(৪২ – ২৭)(৪২ – ৩২)}

= √{৪২ × ১৭ × ১৫ × ১০}

= √১০৭১০০

≈ ৩২৭.২৬১ বর্গ সেমি (প্রায়)

অতএব, নির্ণেয় ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ≈ ৩২৭.২৬১ বর্গ সেমি।

৫. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 6√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

• সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার।

সুতরাং,

• এর ক্ষেত্রফল = (√3/4)a² বর্গমিটার

প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে,

• নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = (a + ২) মিটার
• নতুন ক্ষেত্রফল = (√3/4)(a + ২)² বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, নতুন ক্ষেত্রফল আগের ক্ষেত্রফলের চেয়ে ৬√৩ বর্গমিটার বেশি।

সুতরাং,

(√3/4)(a + ২)² = (√3/4)a² + ৬√৩

উভয় পক্ষকে ৪/√3 দিয়ে গুণ করে পাই:

(a + ২)² = a² + ২৪

বা, a² + ৪a + ৪ = a² + ২৪

উভয় পক্ষ থেকে a² বিয়োগ করে পাই:

বা, ৪a + ৪ = ২৪

বা, ৪a = ২৪ – ৪

বা, ৪a = ২০

বা, a = ২০/৪

বা, a = ৫

অতএব, সমবাহু ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার।

৬. একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার, 28 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমিটার হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

• ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = ২৬ মিটার এবং b = ২৮ মিটার।
• a ও b বাহুর অন্তর্ভুক্ত কোণ θ।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র:

ক্ষেত্রফল = (১/২)ab sinθ

সুতরাং,

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ২৬ × ২৮ × sinθ

= ৩৬৪ sinθ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১৮২ বর্গমিটার

অতএব,

৩৬৪ sinθ = ১৮২

বা, sinθ = ১৮২/৩৬৪

বা, sinθ = ১/২

আমরা জানি, sin৩০° = ১/২

সুতরাং,

θ = ৩০°

অতএব, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ ৩০°।

৭. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

• সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য (a) = ১০ মিটার
• ভূমির দৈর্ঘ্য (b) = x মিটার

আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/৪)√(৪a² – b²) বর্গ একক

প্রশ্নমতে,

(b/৪)√(৪a² – b²) = ৪৮

বা, (x/৪)√(৪ × ১০² – x²) = ৪৮

বা, x√(৪০০ – x²) = ১৯২ (উভয় পক্ষকে ৪ দিয়ে গুণ করে)

উভয় পক্ষের বর্গ করে পাই:

বা, x²(৪০০ – x²) = ১৯২²

বা, ৪০০x² – x⁴ = ৩৬৮৬৪

বা, x⁴ – ৪০০x² + ৩৬৮৬৪ = ০

ধরি, x² = y

তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

y² – ৪০০y + ৩৬৮৬৪ = ০

এখন, এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি:

y² – ২৫৬y – ১৪৪y + ৩৬৮৬৪ = ০

বা, y(y – ২৫৬) – ১৪৪(y – ২৫৬) = ০

বা, (y – ২৫৬)(y – ১৪৪) = ০

অতএব, y = ২৫৬ অথবা y = ১৪৪

এখন, y এর মান x² এ বসিয়ে পাই:

যদি y = ২৫৬ হয়, তাহলে x² = ২৫৬, সুতরাং x = √২৫৬ = ১৬

যদি y = ১৪৪ হয়, তাহলে x² = ১৪৪, সুতরাং x = √১৪৪ = ১২

অতএব, ভূমির দৈর্ঘ্য (x) ১৬ মিটার অথবা ১২ মিটার হতে পারে।

সুতরাং, ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য ১৬ মিটার অথবা ১২ মিটার।

৮. একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দুইটি রাস্তা পরস্পর 135⁰ কোণ করে দুই দিকে চলে গেছে। দুইজন লোক ঐ নির্দিষ্ট স্থান থেকে যথাক্রমে ঘন্টায় 7 কিলোমিটার ও ঘণ্টায় 5 কিলোমিটার বেগে বিপরীত মুখে রওনা হলো। 4 ঘন্টা পর তাদের মধ্যে সরাসারি দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আপনার সমাধানটি প্রায় সঠিক, তবে উপস্থাপনা এবং কিছু অংশে সামান্য পরিমার্জন করা যেতে পারে। নিচে একটি পুনর্লিখিত সমাধান দেওয়া হলো:

মনে করি,

• B হলো যাত্রা শুরুর নির্দিষ্ট স্থান।
• প্রথম ব্যক্তি B থেকে ৭ কিমি/ঘণ্টা বেগে ৪ ঘন্টায় C বিন্দুতে পৌঁছায়।
• দ্বিতীয় ব্যক্তি B থেকে ৫ কিমি/ঘণ্টা বেগে ৪ ঘন্টায় A বিন্দুতে পৌঁছায়।
• ∠ABC = ১৩৫°

নির্ণয় করতে হবে: ৪ ঘণ্টা পর তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব (AC)।

তাহলে,

• BC = বেগ × সময় = ৭ কিমি/ঘণ্টা × ৪ ঘণ্টা = ২৮ কিমি
• BA = বেগ × সময় = ৫ কিমি/ঘণ্টা × ৪ ঘণ্টা = ২০ কিমি

অঙ্কন: BC এর বর্ধিতাংশের উপর A থেকে AD লম্ব আঁকা হলো।

এখন, △ABD এর ক্ষেত্রে:

• ∠ABD = ১৮০° – ∠ABC = ১৮০° – ১৩৫° = ৪৫° (যেহেতু ∠ABC এবং ∠ABD সন্নিহিত কোণ এবং তাদের সমষ্টি ১৮০°)
• ∠ADB = ৯০° (যেহেতু AD ⊥ BC)

সুতরাং, △ABD একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ, কারণ ∠ABD = ∠BAD = ৪৫°। অতএব, AD = BD।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, △ABD এ:

AB² = AD² + BD²

বা, ২০² = BD² + BD² (যেহেতু AD = BD)

বা, ৪০০ = ২BD²

বা, BD² = ৪০০/২

বা, BD² = ২০০

বা, BD = √২০০ ≈ ১৪.১৪ কিমি

সুতরাং, AD = BD ≈ ১৪.১৪ কিমি

এখন, DC = DB + BC = ১৪.১৪ + ২৮ = ৪২.১৪ কিমি

এখন, △ADC এ, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:

AC² = AD² + DC²

বা, AC² = (১৪.১৪)² + (৪২.১৪)²

বা, AC² ≈ ২০০ + ১৭৭৫.৭৭৯৬

বা, AC² ≈ ১৯৭৫.৭৭৯৬

বা, AC ≈ √১৯৭৫.৭৭৯৬

বা, AC ≈ ৪৪.৪৫ কিমি (প্রায়)

অতএব, ৪ ঘণ্টা পর তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব প্রায় ৪৪.৪৫ কিমি।

৯. একটি সমবাহু ত্রিভুজের অভ্যন্তরে একটি বিন্দু থেকে তিনটির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি, 7 সেমি ও 8 সেমি। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

আপনার সমাধানটি প্রায় সঠিক, তবে উপস্থাপনা এবং কিছু অংশে সামান্য পরিমার্জন করা যেতে পারে। নিচে একটি পুনর্লিখিত সমাধান দেওয়া হলো:

মনে করি,

• ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ, যার বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = AC = a সেমি।
• O ত্রিভুজের অভ্যন্তরে একটি বিন্দু।
• O থেকে AB, BC এবং CA এর উপর লম্ব যথাক্রমে OF = ৬ সেমি, OD = ৭ সেমি এবং OE = ৮ সেমি।

O, B; O, A; O, C যোগ করা হলো।

এখন,

• △OBC এর ক্ষেত্রফল = (১/২) × BC × OD = (১/২) × a × ৭ = ৩.৫a বর্গ সেমি
• △OCA এর ক্ষেত্রফল = (১/২) × AC × OE = (১/২) × a × ৮ = ৪a বর্গ সেমি
• △OAB এর ক্ষেত্রফল = (১/২) × AB × OF = (১/২) × a × ৬ = ৩a বর্গ সেমি

সুতরাং, △ABC এর ক্ষেত্রফল = △OBC এর ক্ষেত্রফল + △OCA এর ক্ষেত্রফল + △OAB এর ক্ষেত্রফল

= ৩.৫a + ৪a + ৩a

= ১০.৫a বর্গ সেমি

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/৪)a² বর্গ সেমি

অতএব,

(√3/৪)a² = ১০.৫a

উভয় পক্ষকে a (যেহেতু a ≠ ০) দিয়ে ভাগ করে পাই:

(√3/৪)a = ১০.৫

বা, √3a = ৪২

বা, a = ৪২/√3

লব ও হরকে √3 দিয়ে গুণ করে পাই:

বা, a = (৪২√3)/৩

বা, a = ১৪√3

≈ ১৪ × ১.৭৩২০৫

≈ ২৪.২৪৮৭ সেমি (প্রায়)

অতএব, ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য প্রায় ২৪.২৪৮৭ সেমি।

এখন, △ABC এর ক্ষেত্রফল = (√3/৪)a²

≈ (√3/৪) × (২৪.২৪৮৭)²

≈ (√3/৪) × ৫৮৮

≈ ২৫৪.৬১ বর্গ সেমি (প্রায়)

অতএব, △ABC এর ক্ষেত্রফল প্রায় ২৫৪.৬১ বর্গ সেমি।

১০. একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমির 11/12 অংশ থেকে 6 সেমি কম এবং অতিভুজ ভূমির 4/3 অংশ থেকে  3 সেমি কম।

ক) ভূমি  x হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল x এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

সমাধানঃ

সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি x সেমি।

∴লম্ব

   11x

=——- – 6

    12

   11x-72

=———– সেমি

      12

∴ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল

= ½✕ভূমি✕লম্ব

   1      11x-72

=—-.——–.x

   2        12

   (11x-72)x

=————– বর্গ সেমি

        24

খ) ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি x সেমি হলে,

লম্ব

   11x

=——- – 6

   12

   11x-72

=———– সেমি

      12

অতিভুজ

    4x

=——- – 3

     3

    4x-9

=———– সেমি

      3

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে আমরা জানি,

(অতিভুজ)²=(ভুমি)²+(লম্ব)²

     (4x-9)²             (11x-72)²

বা, ———= x² +————-

        3²                    12²

      (4x-9)²             (11x-72)²

বা, ———= x² +————-

         9                      144

বা, 16(4x-9)²=144x²+(11x-72)² [উভয়পক্ষকে 144 দ্বারা গুণ করে]

বা, 16(16x²-72x+81)=144x²+121x²-1584x+5184

বা,  256x²-1152x+1296=265x²-1584x+5184

বা,  256x²-1152x+1296-265x²+1584x-5184=0

বা,  -9x²+432x-3888=0

বা,  x²-48x+432=0 [উভয়পক্ষকে -9 দ্বারা ভাগ করে]

বা,  x²-12x-36x+432=0

বা,  x(x-12)-36(x-12)=0

বা,  (x-12)(x-36)=0

বা,  x-12=0      অথবা, x-36=0

বা,  x=12          বা,  x=36

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য 12 সেমি বা 36 সেমি।

গ) ত্রিভুজটির ভূমি 12 সেমি হলে এর পরিসীমার সমান পরিসীমাবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 12 সেমি হলে,

শর্তমতে,

লম্ব

   11✕12

=———– – 6

    12

=11-6

=5 সেমি

এবং অতিভুজ

    4✕12

=———– – 3

       3

=16-3

=13 সেমি

∴ ত্রিভুজটির পরিসীমা = ভূমি+লম্ব+অতিভূজ=12+5+13=30 সেমি।

এখন কোনো সমবাহু ত্রিভূজের পরিসীমা 30 সেমি হলে,

এর বাহুর দৈর্ঘ্য a =30/3=10 সেমি।

∴ সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

   √3.a²

=——–

      4

   √3.(10)²

=————

        4

   √3.100

=————

        4

=√3.25

=43.301 বর্গ সেমি।